求收敛半径

对于非缺项幂级数

对于系数 $a_n\ne 0$

设

$$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n{|}^{1/n}=\rho$$

那么

$$R=\frac{1}{\rho }$$

（0 和无穷的情况趋势相同）

证明

取绝对值，运用 比值判别法 讨论对于 1 的大小情况

说明了当 $x<\frac{1}{\rho }$ 的时候是绝对收敛的

利用 极限的保序性，说明在某一项之后 $|a_{n+1}{x}^{n+1}|>|a_n{x}^n|$ ，那么通项的极限不为 0，肯定发散

根式判别法同理

对于一般的函数项级数

没有特定公式，但是和上面的方法一样，用比值法用同样的方法也可以求出来范围

$$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}}{u_n}|\sim 1$$