正项级数的判别法

正项级数

对于每一项都是非负的数列，有特殊的判别方法

部分和判别法

发现 部分和 数列是 单调递增数列，要使这个数列有极限存在，那么根据 单调有界原理，只要 部分和 数列有上界，那么级数一定收敛（充要的）

那么没有上界，当然趋向于无穷，级数趋向于正无穷

方法：对要求的通项进行变化，写成能够明显看出有界的形式

比较判别法

夹逼准则

如果 $0\le u_n\le v_n$

那么 大的收敛，小的也收敛。小的发散，大的也发散

参考量：调和级数、几何级数 等等

推广 根据 有限影响 和 满足极限线性关系，只要在某一项之后满足 $0\le l{v}_n\le k{u}_n$ 就行了

例题 讨论 P级数 的敛散性

• 当 $P\le 0$ 通项的极限为正无穷，级数发散
• 当 $0<P\le 1$

$$u_n=\frac{1}{n^P}\ge \frac{1}{n}=v_n⟹发散$$

• 当 $P>1$

构造 $f(x)=\frac{1}{x^P}$

由几何图形可以得

$$S_n\le 1+{\int }_1^n\frac{1}{x^P}dx=1+\frac{1}{P-1}\left(1-\frac{1}{n^{P-1}}\right)<1+\frac{1}{P-1}$$

所以收敛

例题

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\ln (n+1{)}^{\ln (n+1)}}$$

当 n 充分大的时候，

$$\begin{array}{rl}{e}^{\ln (n+1)\ln \ln (n+1)}& >e^{2\ln (n+1)}\\ & =(n+1{)}^2\end{array}$$

因为 $\frac{1}{(n+1{)}^2}$ 发散，所以原式发散

NOTE

抓主要矛盾放缩

比较判别法的极限形式

如果

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l$$

那么

当 l 是大于零的有限数的时候，那么两个级数同 敛散性 → 同阶无穷小

当 l 是 0 的时候，下面收敛，那么上面也收敛。反过来 l 是无穷大量的时候，下面发散，上面也发散

证明 极限语言，然后刻画为

$$\frac{l}{2}{v}_n<u_n<\frac{3l}{2}{v}_n$$

根据 比较判别法 可知

定理的盲区

l 是正常数的时候非常安全。但是当 l 是 0 的时候，下面发散，上面则是未知，反过来 l 是无穷大量的时候，下面收敛，上面也是未知

上下总是消去主要矛盾的时候，可以去掉前几项，把自变量做一个小的差，保留主要矛盾

积分证明法

如果 $0\le f(x)\in C[1,+\infty ],f(x)$ 单调递减，令 $u_n=f(n)$，那么

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$

与

$${\int }_1^{\infty }f(x)dx$$

敛散性 相同

例题 $\frac{1}{x{\ln }^{p}x}$ 的敛散性

比值判别法

若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=l$$

那么

• 当 $l<1$ 时，级数收敛（充分性）
• 当 $l>1$ 时，级数发散（充分性）
• 当 $l=1$ 时，失效

证明

当 $l<1$ 时，极限刻画为在某一项之后，通项小于某一项为基准的公比小于 1 的等比数列，收敛。当 $l>1$ 时同理

当 $l=1$ 的时候，举反例 $\frac{1}{n}$ 和 $\frac{1}{n^2}$ 一个收敛一个不收敛，说明失效

NOTE

在只存在一种函数的时候不大好用，但是对于不同函数合在一起的时候有奇效，对于阶乘很好用

对于任意项级数，取绝对值之后用这个方法证明发散，那么原式也肯定发散：

利用 极限的保序性，说明在某一项之后 $|a_{n+1}{x}^{n+1}|>|a_n{x}^n|$ ，那么通项的极限不为 0，肯定发散

根值判别法（柯西判别法）

若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n^{1/n}=l$$

• 当 $l<1$ 时，级数收敛（充分性）
• 当 $l>1$ 时，级数发散（充分性）
• 当 $l=1$ 时，失效

证明思路和 比值判别法 相同

NOTE

对于幂指数上面带 n 的和分段的数列找共同点很好用