积分在物理上的运用

物理数学技巧

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质心坐标

质心坐标是坐标关于质量的加权和

转换成连续问题：以均匀代替非均匀，用一个点的质量代替一块

$$\bar{x}=\frac{\iint x\rho d\sigma }{\iint \rho d\sigma }$$

当薄片是均匀的时候，质心 称为 形心

$$\bar{x}=\frac{\iint xd\sigma }{A}$$

如果几何图形关于某一个轴对称，那么形心在这个对称轴上

规则的 规则几何体形心坐标公式

类似的，空间几何体有空间形心坐标

例题：求一段摆线的形心坐标

$$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array},t\in (0,2\pi )$$

这个形心在对称轴 $x=\pi a$ 上，所以 $\bar{x}=\pi a$

再计算 y 质心坐标：

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_0^{2\pi a}y(x)dx\\ & ={\int }_0^{2\pi }a(1-\cos t)d[a(t-\sin t)]\\ & ={\int }_0^{2\pi }{a}^2(1-\cos t{)}^{2}dt\\ & =3\pi a^2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\bar{y}& =\frac{1}{S}\iint ydxdy\\ & =\frac{1}{S}{\int }_0^{2\pi a}dx{\int }_0^{y(x)}ydy\\ & =\frac{5a}{6}\end{array}$$

例题：$2R$ 和 $R$ 的球壳之间的体积形成的上半球的体心坐标

因为对称性，体心坐标肯定在 z 轴上，所以只需要计算 z 坐标即可

$$\begin{array}{rl}\bar{z}& =\frac{\iiint zdv}{\iiint dV}\\ & =\frac{{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /2}d\phi {\int }_R^{2R}\rho \cos \phi {\rho }^2\sin \phi d\rho }{\frac{14}{3}\pi R^2}\\ & =\frac{\frac{15}{4}\pi R^4}{\frac{14}{3}\pi R^2}\\ & =\frac{45}{56}\end{array}$$

例题：求平面上 $r=a\cos \theta$ 和 $r=b\cos \theta$ 两个圆之间的均匀薄片的形心

$$\begin{array}{rl}\bar{x}& =\frac{2{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_{a\cos \theta }^{b\cos \theta }r\cos \theta rdr}{\frac{\pi }{4}(b^2-a^2)}\\ & =\frac{\frac{\pi }{8}(b^3-a^3)}{\frac{\pi }{4}(b^2-a^2)}\\ & =\frac{b^2-ab+a^2}{2(a+b)}\end{array}$$

技巧，可以用积分区间的可加性，用割补法来简化计算

Tip

反过来，这个可以快速求出类似于 $\iint xd\sigma$ 的积分，$\iint xd\sigma =\bar{x}\cdot A$

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转动惯量

$$I_x={\int }_{\Omega }(y^2+z^2)\mu (M)d\Omega$$

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引力

对单位质点的引力

$$F=G\frac{M}{r^2}$$

用微元法表示每个体积元素上的引力

$$d\vec{F}=G\frac{\mu (M)d\Omega }{r^2}$$

积分起来就是总质量

F 在每个分量上要乘以单位余弦

$$\frac{x-x_0}{r}$$ $$F_x=G{\int }_{\Omega }\frac{\mu (M)(x-x_0)}{r^2}\cdot \frac{x-x_0}{r}dr$$