转动惯量

物体转动的难易程度

$$I=\int r^{2}dm$$

也可以用 $J$ 表示

常见几何物体转动惯量

xoy 细圆环：

$$I={\int }_0^{2\pi }{R}^2\frac{m}{2\pi R}Rd\theta =m{R}^2$$

yoz 细圆环：

根据 xoy 细圆环的转动惯量，在 z 方向上的转动惯量是 $m{R}^2$

由 垂直轴定理 得：

$$I=\frac{1}{2}m{R}^2$$

xoy 圆薄片：

$$I={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R{r}^2\frac{m}{\pi R^2}rdr=\frac{1}{2}m{R}^2$$

xoy 圆筒：

$$I={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_{r_1}^{r_2}dr{\int }_0^h{r}^{2}r\rho dz=2\pi \cdot \frac{(r_2^4-r_1^4)}{4}h\cdot \frac{m}{r_2^2-r_1^2}=\frac{m}{2}(r_1^2+r_2^2)$$

xoy 圆柱：

当 xoy 圆筒内半径趋于 0 的时候，就是圆柱的转动惯量

$$I=\frac{1}{2}m{r}^2$$

xoz 圆柱：

转换为柱坐标 $(r,\theta ,z)$

$$\rho =\frac{m}{\pi r^{2}l}$$ $$\begin{array}{rl}I& =\iiint (z^2+(r\sin \theta {)}^2)\rho dV\\ & ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{R}rdr{\int }_{\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}(z^2+(r\sin \theta {)}^2)\frac{m}{\pi R^{2}l}dz\\ & =\frac{m}{\pi R^{2}l}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{R}rdr{\int }_{\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}{z}^{2}dz+\frac{m}{\pi R^{2}l}{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2\theta d\theta {\int }_0^R{r}^{3}dr{\int }_{\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}dz\\ & =\frac{1}{12}m{l}^2+\frac{1}{4}m{r}^2\end{array}$$

xoz 细棒：

xoz 圆柱当半径 r 趋近于 0 的时候，则为细棒的转动惯量

$$I=\frac{1}{12}m{l}^2$$

如果设 $r=\frac{l}{2}$

$$I=\frac{1}{3}m{r}^2$$

xoz 在一侧的细棒：

如果把另一半补上：

$$2I=\frac{1}{3}(2m)r^2$$

根据对称性，一半的转动惯量是一半

$$I=\frac{1}{3}m{r}^2=\frac{1}{3}m{l}^2$$

这里规定 $r=l$

球：

$$\begin{array}{rl}I& =2\pi {\int }_0^{R}dr{\int }_0^{\pi }{r}^2\cdot r^2\sin \phi \frac{m}{\frac{3}{4}\pi R^3}d\phi \\ & =\frac{2m{R}^2}{5}\end{array}$$

球壳：

设内直径为 R’

$$\begin{array}{rl}I& =2\pi {\int }_{R^{\prime }}^{R}dr{\int }_0^{\pi }{r}^2\cdot r^2\sin \phi \frac{m}{\frac{3}{4}\pi (R^3-R^{\prime 3})}d\phi \\ & =\frac{2m}{5}\frac{R^5-R^{\prime 5}}{R^3-R^{\prime 3}}\end{array}$$

取极限 $R^{\prime }\to R$

$$I=\frac{2}{3}m{R}^2$$

或用轮换对称性作区面积分

$$I=\frac{2}{3}\iint (x^2+y^2+z^2)\rho dS=\frac{2}{3}{r}^2\cdot m$$