第二类曲面积分的计算

合一投影法

要算法向量 $\left(\begin{array}{c}-z_x\\ -z_y\\ 1\end{array}\right)$，只用算一次积分区域

投影积分区域 S 到坐标面 D 上

D 是好算的自变量所在的坐标面

$${\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_{D_{xy}}\vec{F}[x,y,z(x,y)]\cdot \pm \left(\begin{array}{c}-z_x\\ -z_y\\ 1\end{array}\right)dxdy$$

如果 F 退化为 $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ R\end{array}\right)$ 结果则是

$$\pm {\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$$

不需要计算法向量了

NOTE

当单位法向量和向量值函数内积为常数，积分区域是规则区域时好用

法向量可以直接写成一般式的偏导数吗？

不行，大小不固定，需要规范成垂直分量等于 1 的形式

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分面投影法

向三个坐标面作投影，算三次积分区域，不用算法向量

向量分量只有一个的时候，就可以简化为一项了

$$=\pm {\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy+yz轮换形式$$

正负号由法向量的指向决定

NOTE

当被积函数只有一项，或者是柱面（一个积分区域为 0）的时候好用

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当平面化为显函数分区或者法向量侧向改变的时候出现分区，灵活调整投影面让分区情况少出现

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转化为第一类曲面积分

当向量场和法向量内积是一个常数，面积是规则的时候，可以写成常数乘以面积的形式