隐函数存在定理

$$\text{如果有}u=F(p)=F(x_0,y_0)\{\begin{array}{l}F(P_0)=0\\ F_x,F_y\in C[U(P_0,\delta )]\\ F_y(P_0)\ne 0\end{array}$$ $$\text{则有}\{\begin{array}{l}y=f(x)\text{在}U(P_0,\delta )邻域内确定，且连续\\ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\end{array}$$ $$\left(\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{dy}{dx}\end{array}\right)=0$$

多元函数的情况

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}$$

雅可比行列式

• 这个点是两个共同的零点
• 8 个偏导数都连续
• 关于 F，G 在这个点的的 雅可比行列式 不为 0 $J{|}_p\ne 0$