协方差

对于两个随机变量：XY

受到下面公式的启发：

$$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E((X-EX)(Y-EY))$$ $$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2E((X-EX)(Y-EY))$$

则定义

$$cov(X,Y)=E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\}$$

若该式存在，则为协方差

1. 本质上是一个数
2. $cov(X,X)=D(X)$
3. 一定程度上反映了 X 与 Y 之间的线性关系强度

如果 $(X,Y)$ 存在线性关系，则 $(aX,Y)$ 也是线性的，那么说这两个线性关系强度应该是一样的，但是算出来的是 $cov(aX,Y)=a\cdot cov(X,Y)$ 所以不能非常准确的描述线性关系强度。考虑 标准化

尝试

$$cov(X^{\ast },Y^{\ast })=E(X^{\ast }{Y}^{\ast })=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$$

相关系数

协方差的性质

协方差矩阵