相关系数

$${\rho }_{XY}=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{E(XY)-EXEY}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$$

对协方差取值过于随意的缺点进行了改善

由 柯西-施瓦兹不等式 得到

$${\rho }_{XY}\in [-1,1]$$

根据一开始 协方差由方差的加法减法运算引入

若 $\rho =1$

$$D(X^{\ast }-Y^{\ast })=D(X^{\ast })+D(Y^{\ast })-2cov(X^{\ast },Y^{\ast })=0$$

则推出

$$P\{X^{\ast }=Y^{\ast }\}=1⟹P\left\{Y=\sqrt{\frac{D(X)}{D(Y)}}(X-EX)+EY\right\}=1$$

取 $\rho =-1$ 同理

所以 Y 和 X 存在线性关系

反过来，若 $P\{Y=\alpha X+\beta \}=1$ 同分布的证明 概率为1 能证明 $\rho =\pm 1$

所以：

$$|{\rho }_{XY}|=1⟺P\{Y=\alpha X+\beta \}=1$$

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• ${\rho }_{XY}=1$ XY 正相关
• ${\rho }_{XY}=-1$ XY 负相关
• ${\rho }_{XY}=0$ XY 不相关

若 XY 独立，则 XY 不相关，反之不成立

如在单位圆中均匀分布，XY 不相关，但是不独立。

什么时候独立和不相关能够等价？

若 X Y 服从 二维正态分布，则 XY 相互独立等价于 ${\rho }_{XY}=0$

$$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2,{\mu }_2,{\sigma }_2^2,{\rho }_{XY})$$

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XY 有相关系数 ${\rho }_{XY}$ 分别对 XY 做线性变换得到 AB

$$\{\begin{array}{l}A=a_{1}X+b_1\\ B=a_{2}X+b_2\end{array}$$

则相关系数要么不变，要么相反

$${\rho }_{AB}=\frac{a_1{a}_2}{|a_1{a}_2|}{\rho }_{XY}$$

相关系数不会依赖于原点和单位的选取