协方差矩阵

$$C_{ij}=cov(X_i,Y_j)$$ $$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \dots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \dots & c_{2n}\\ & & & \\ \dots & & & \\ c_{n1}& c_{n2}& \dots & c_{nn}\end{array}\right]$$

为协方差矩阵

根据 柯西-施瓦兹不等式

有

$$cov(X_1,X_2)\le D(X_1)D(X_2)$$

说明协方差矩阵为 半正定矩阵

如果能证明不能取等则为 正定矩阵

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$X_i$ 相互独立等价于协方差矩阵为 对角矩阵

所以 $(X_1,X_2,X_3)$ 是三维正态随机变量，如果两两独立，则相互独立