有条件极值

有额外约束条件

代入法

$$u=f(x,y)=f(x,y(x))=F(x)$$

二元函数的条件极值变成了一元函数的无约束极值

但是条件必须能写显化

拉格朗日乘数法

不能显化的情况下，如果满足 隐函数存在定理，那么可以不用显化直接表示出各自的偏导数

约束条件

$$F(x_0,y_0)=0$$ $$\left(\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{dy}{dx}\end{array}\right)=0$$

要求的

$$\frac{du}{dx}=0$$

可以化成

$$f_x+f_y\frac{dy}{dx}$$ $$\left(\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{dy}{dx}\end{array}\right)=0$$

所以两个二维向量平行，引入 $\lambda$ 辅助量（后面扔掉）拉格朗日乘数

$$\{\begin{array}{l}{f}_x+\lambda F_x=0\\ f_y+\lambda F_y=0\end{array}$$

构造函数

$$G(x,y,\lambda )=f+\lambda F$$ $$⟹\{\begin{array}{l}{G}_x=f_x+\lambda F_x=0\\ G_y=f_y+\lambda F_y=0\\ G_{\lambda }=F=0\end{array}⟹\nabla F=0⟹(x_0,y_0)$$

把二元函数的约束极值，变成了三元函数的无约束极值

但是增加了非线性方程的求解问题，和增加了偏导数求解运算量

技巧：

• 可以把 $\lambda$ 作为桥梁求解方程组，可以方程组搭桥，也可以先统一化成 $\lambda$
• 为了使偏导好算，把 f 看成复合函数用增长性转化成好算的中间变量来算
• 同样的，用 $\ln x$ 的单调性，把乘积求导问题转化成和差求导问题
• 合理转化可以把不可导化成可导函数