求泰勒级数的方法

直接方法

通过

$$a_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)$$

• 计算泰勒系数
• 判断泰勒级数是否能展开
• 求收敛半径 和 收敛域
• 考察在收敛域内，${\lim }_{n\to \infty }{R}_n(x)=0$ 是否成立，如果成立，则对收敛域内的任何 x 均有

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

二项展开式

间接方法

根据唯一性，利用常见展开式，逐项写出系数

收敛半径用系数代换根据常见级数的收敛半径可以求出来

常用积分作为中间桥梁来构造常见形式（积分不改变收敛半径，但是端点处要考虑）

计算函数在某点的 n 阶导数，可以用间接法把泰勒级数算出来，然后通过 $f_{(n)}(x_0)=a_{n}n!$ 得到 n 阶导数

常见的方法有：

1. 逐项求导和逐项积分
2. 变量代换
3. 四则运算（拆分）

构造幂级数来求常数项级数

通过无穷级数来计算数列极限