泰勒级数

要求函数可以求任意阶导数

那么

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 泰勒级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x{)}^n$$

称为 $f(x)$ 的 麦克劳林级数

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泰勒级数是否和原函数相等

不一定

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2}& ,x\ne 0\\ 0& ,x=0\end{array}$$

展开麦克劳林级数为

$$L=0$$

显然不相等

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判断泰勒级数是否能展开

充要条件

定理 在函数具有任意阶条件的情况下，函数在邻域内能够展开成泰勒级数，当且仅当余项的极限等于 0

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充分条件

定理 如果函数的各阶导函数有界，那么在这个区域内可以展开为该点的泰勒级数（充分条件）

证明取绝对值后用夹逼准则，右端采用 比值判别法

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幂级数展开的唯一性

定理 如果函数能够展开成在 $x_0$ 处的幂级数

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$$

，则一定有

$$a_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)$$

即幂级数的展开是唯一的，结果就是泰勒展开

证明求导 n 次可得

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求泰勒级数的方法