抽样分布定理

从 四种常用统计分布 定义出发记忆

第一大抽样分布定理

X 为正态总体的样本，对其有：

第一结论

样本均值 和 样本方差 相互独立

第二结论

$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

第三结论

卡方分布

$$\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}=\frac{n{M}_2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

自由度变小了，因为能够通过其中的 $\bar{X}$ 推出其他一个作为限制

根据上面的定理，推出

第四结论

t 分布

$$\frac{\bar{X}-\mu }{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

补充结论一

$$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n)$$

这个利用 $\mu$ 更加充分

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第二大抽样分布定理

正态总体 XY 相互独立：

第一结论 2

$$\frac{s_1^2/{\sigma }_1^2}{s_2^2/{\sigma }_2^2}=F(n_1-1,n_2-1)$$

F 分布

第二结论 2

（方差相等情况）

$$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{n_1^{-1}+n_2^{-1}}}\sim t(n_1+n_2-2)$$ $$S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$$

方差知道比例的情况也可以通过补充结论三得到分子正态、第三结论两个卡方相加得到分母卡方，通过 t 分布定义构造

补充结论二

$$\frac{1}{n_1}\sum {\left(\frac{X_i-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2/\frac{1}{n_2}\sum {\left(\frac{Y_i-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\sim F(n_1,n_2)$$

补充结论三

$$\frac{\bar{X}-\bar{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$$