主理想

X 是环 R 的非空子集，$\{I_1,I_2,\dots \}$ 是包含了 X 的所有 理想，称他们的交集是由 X 生成的理想，记为 $(X)$. X 中的元素称为 $(X)$ 的生成元素

当 X 是有限集的时候，称 $(X)$ 是 有限生成理想

由一个元素生成的理想 $(a)$ 称为主理想

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显然 $(X)$ 是包含 X 的最小理想，$(a)$ 是包含元素 a 的最小理想

对于有限个 $x_i,y_i,x,y\in R$

下面的和一定也属于 $(a)$：

$$\sum x_{i}a{y}_i+xa+ay+na\in (a)$$

其实就是由 a 生成的理想（可以互相生成）

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当 R 为交换环的时候，主理想可以写成：

$$xa+na(x\in R)$$

当 R 有单位元的时候，可以写成

$$\sum x_{i}a{y}_i$$

当 R 既有单位元，是交换环的时候，主理想可以写成

$$xa$$

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如果一个 整环 上的理想都是 主理想，则称为 主理想整环

整数环 Z 是主理想整环，所有理想都能表示称 $m\mathbb{Z}$