环的同态、理想

如果映射满足对两个映射都满足同态，即：

f (a + b) = f (a) + f (b)

f (ab) = f (a) f (b)

则称 f 是环的同态映射

例如：R 是一个环， $R^{n}$ 是 R 上的 n 维向量

定义 $R^{n}$ 上的加法和乘法如下：

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n})

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) = (a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n})

则 $R_{n}$ 构成一个环，定义 $R^{n} \to R$ 的映射

f ((a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})) = a_{1}

易证 f 是同态映射，而且是满同态

对于同态映射，有结论：

f (0) = 0^{'}

f (- a) = - f (a)

如果 f 是满同态，而且 R 有单位元，那么 $R^{'}$ 也有单位元，而且

f (1) = 1^{'}

可证对所有 a 有： $f (a) = f (1 \cdot a) = f (1) f (a)$ ，所以 $f (1)$ 是单位元

如果 f 是满同态，且 R 有单位元，而且 $a \in R$ 可逆，则 $f (a)$ 在 R’ 中可逆，且 $f (a)^{- 1} = f (a^{- 1})$

如果 f 是满同态，且 R 是交换环，则 $R^{'}$ 也是交换环

整数环 R 到模 m 剩余类环存在下列同态

f : i \in Z, i \to \overset{ˉ}{i} (\overset{ˉ}{i} = i m o d m)

没有零因子这个性质在同态下不一定能保持（当 m 为合数的时候有零因子）

环同态也有同态映射的核的概念，f 的核的像定义为零元

🪴 Cyril