常数项级数

一个数可以由无穷多个数相加得到

$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots$$

反过来，无穷多个数相加一定是一个数吗？

$$1-1+1-1\cdots =?$$

很明显，不一定。但有限个数相加却一定是一个确定的数

所以，接下来探讨在什么时候无穷多个数相加是一个确定的数

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每一项都是常数的 级数，称为常数项级数

因为有限一定是确定的，所以通过通过有限来研究无穷

级数的前 n 项之和 $S_n$ 部分和

$$S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$$

随着 n 发生变化，构成了一个数列。这个数列称为 部分和数列。可以通过研究数列的变化趋势来研究级数。

如果

$$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n{u}_k=\sum _{k=0}^{\infty }{u}_k$$

存在，那么这个值就是级数的结果，称级数 收敛

若不存在，则是 发散

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余项

如果收敛：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n=0$$

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裂项

常见的级数

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级数的性质

正项级数的判别法

交错级数的敛散性

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绝对收敛与条件收敛