法向量

就是各个方向上的偏导数，也就是梯度。z 是额外高维角度

$$\begin{array}{rl}\vec{n}& =\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)\end{array}$$ $$\vec{n}=(-z_x,-z_y,1)$$

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化高维为低维，通过局部了解全局

升高维看成梯度，梯度方向就是法向

$$F(x,y,z)=0$$

在曲面上任取一条经过 $M_0$ 点的曲线（有无线多条）

$$L=\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$$

得到曲线的参数方程，和在这一点处的切向量

$$F(x(t),)=0$$

两边同时对 t 求导

$$F_x{x}^{\prime }(t)+F_y{y}^{\prime }(t)+F_z{z}^{\prime }(t)=0$$

取到特殊点

$$F_x{x}^{\prime }(t_0)+F_y{y}^{\prime }(t_0)+F_z{z}^{\prime }(t_0)=0$$

说明两个向量正交

但是不管曲线怎么取，这些 切向量 都与这个法向量垂直：

$$\vec{n}=(F_x(M_0),F_y(M_0),F_z(M_0))$$

特殊的，$z=z(x,y)$

$$\vec{n}=(-z_x,-z_y,1)$$

这里是上侧，下侧取负号

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指向外侧的法向量