第二类曲线积分的计算

转化为第一类曲线积分运算

t 单调从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 的过程中，点从起点沿着曲线 L 移动到终点

$$\begin{array}{rl}{\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy& ={\int }_L\vec{F}(x,y)d\vec{s}\\ & ={\int }_L\vec{F}(x,y)\cdot {\vec{\tau }}_{0}ds\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\left(\begin{array}{c}P(x(t),y(t))\\ Q(x(t),y(t))\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)\\ y^{\prime }(t)\end{array}\right)\cdot \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\left(\begin{array}{c}P(x(t),y(t))\\ Q(x(t),y(t))\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)\\ y^{\prime }(t)\end{array}\right)dt\end{array}$$

或者直接代入也可以

起点是下限，终点是上限

可能要考虑将定积分还原成曲线积分的逆向思维

积分曲线退化成和坐标轴平行的直线，$dy=0$

$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_a^{b}P(x,c)dx$$

起点和终点相同，路径不相同，结果也可能不同