格林公式

区域联通性

曲线L正方向的确定

$${\oint }_{L}Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }(Q_x-P_y)dxdy=\underset{D}{\iint }\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}\\ P& Q\end{array}\right|dxdy$$

证明

设区域 D 同时是 x 型 y 型

$$\begin{array}{rl}\underset{D}{\iint }\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy& ={\int }_c^{d}dy{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}dx\\ & ={\int }_c^{d}Q(x_2(y),y)dy-{\int }_c^{d}Q(x_1(y),y)dy\\ & =\oint Q(x,y)dy\end{array}$$

用到 第二类曲线积分的计算 逆向思维

另一个同理

$$\begin{array}{rl}-\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy& =\oint P(x,y)dx\end{array}$$

相加得到结果

如果不满足 xy 型，用分割可以构造求和，结果一样

如果是 复联通区域，割破连到边界，一样抵消了结果一样

可以推广到有限个洞

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若

$$\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}\\ P& Q\end{array}\right|=0$$

则

$${\oint }_{L_1+L_2}Pdx+Qdy=0$$ $${\oint }_{L_1}Pdx+Qdy={\oint }_{L_2^{-}}Pdx+Qdy$$

说明在区域内两个同向的曲线积分是一样的

在单联通上边界取两个异向的曲线

$${\int }_{C_1+C_2^{-}}Pdx+Qdy=0$$ $${\int }_{C_1}Pdx+Qdy={\int }_{C_2}Pdx+Qdy$$

意义：

路径可以往里面变形 →闭路变形原理（收缩的过程要保证偏导数的连续性，至少是存在的吧）

积分和路径无关

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格林公式的运用