二维正态分布

正态分布

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left(-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left(\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(x-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right)\right)$$ $$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2;{\mu }_2,{\sigma }_2^2;\rho )$$ $$|\rho |<1$$

$\rho$ 是描述 XY 相互联系的变量

可以标准化一下：

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left(-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}(x^2-2\rho xy+y^2)\right)$$ $$X\sim N(0,1;0,1;\rho )$$

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计算 边缘概率密度函数：

往标准正态概率密度函数上靠，用变量代换，得到的结果也是正态分布

$$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$$

条件概率密度：

两个标准正态分布

$$Y|X\sim N(\rho x,1-{\rho }^2)$$

也是正态分布

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$\rho$ 就是 XY 的相关系数

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独立性与相关性

• 独立性推出不相关性：如果两个正态随机变量相互独立，那么它们一定不相关。这是因为独立性意味着它们的联合分布等于各自边缘分布的乘积，导致它们的协方差为零。

• 不相关性不一定推出独立性：一般情况下，不相关性并不必然意味着独立性。然而，对于联合正态分布的随机变量，情况有所不同。如果 XY 满足联合分布为正态分布的时候，XY 不相关等价于 XY 独立。

指向原始笔记的链接

https://www.zhihu.com/question/356396883

两个正态分布，合在一起不一定就是联合二维正态。