正态分布

概率密度函数为：

$$\phi (x,\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}$$

验证是否合格：替换 $\frac{x-\mu }{\sigma }=t$ 得到标准正态分布

$$\phi (x,0,1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

积分结果为 1

记为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

曲线关于 $x=\mu$ 对称

标准正态函数的积分记为 $\Phi (x)$

$$P\{X\le h\}=\Phi \left(\frac{h-\mu }{\sigma }\right)$$

一个服从正态分布的随机变量以几乎为 1 的概率在 $3\sigma$ 区间内

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上侧分位数

$$\Phi (u_{\alpha })=1-\alpha$$ $$\Phi (-u_{\alpha })=1-\Phi (u_{\alpha })$$

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$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),Y=aX+b⟹Y\sim N(\mu +b,a^2{\sigma }^2)$$

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二维正态分布

n 维正态分布