全微分的积分

在平面上的情况

$$du=Pdx+Qdy\to u=f(x,y)$$

原函数是否存在？

如何把原函数算出来？

定积分本质上是 第二类曲线积分，所以如果 u 存在，则要采用第二类曲线积分来运算

全微分

定理

D 为单连通偏导连续区域，全微分的原函数存在，等价于 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ （在 D 内）

证明方式和 曲线积分与路径的无关性 差不多

计算

充分利用路径无关性，写成两个折线：

先横

$$u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)dy$$

先竖

$$u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y_0)dy$$

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微分方程

$$Pdx+Qdy=0$$

如果左端表达式刚好有原函数，则称为 全微分方程

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$ $$⟹du=0$$

则

$$u(x,y)=C$$

为全微分方程的解，算出来是一个一元隐函数的方程形式

第二类曲线积分法

把路径设置一个原点作为途经点，然后扔掉起点到原点的路径（常数），也就是等于原点到终点的任意路径积分即可

$$u(x,y)={\int }_0^{x}P(x,0)dx+{\int }_0^{y}Q(x,y)dy$$

常见的全微分表达式

Warning

这里千万不能漏掉积分上下限写成不定积分，否则结果会发生改变

凑微分方法

偏积分法

如果验证了原函数存在，那么

$$P=u_x,Q=u_y$$ $$u=\int u_{x}dx=\int Pdx+C(y)$$

再求导解得 $C(y)$

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空间曲线的情况

在 曲面的单连通区域 上，函数分量有一阶连续偏导数，那么第二类曲线积分与路径无关的等价条件：

$$\nabla \times \vec{A}=\vec{0}$$

由 曲线积分与路径的无关性 等价条件传递性可知

$$du=Pdx+Qdy+Rdz⟺\nabla \times \vec{A}=\vec{0}$$

计算积分方法和上面类似

分段积分方法

$$u(x,y,z)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0,z_0)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y,z_0)dy+{\int }_{z_0}^{z}R(x,y,z)dz$$