方向导数

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 P 的某个 邻域 内有定义

自点 P 引射线 l，其 方向余弦 为 $(\cos \alpha ,\cos \beta )$

设 $p^{\prime }(x+\Delta \alpha ,y+\Delta y)$ 是 l 上另一点，且在邻域内

则两点距离可以表示为增量平方和根，函数值的差也可以表示

那么可以考虑函数全增量和距离的比值（同时指定了方向）

$$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z}{\rho }$$

是否存在？如果存在，则该极限表示在 l 方向上的瞬时变化率。称这个极限为函数在 P 点处沿方向 l 的方向导数

记为

$${\frac{\partial f}{\partial l}\mid }_P$$

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$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{l=(1,0)}=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z}{\rho }=\frac{\partial f}{\partial x}$$

$l$ 是方向向量，这里取单位向量了。沿 x 轴正向的方向导数就是它的关于 x 的 偏导数

沿 x 轴负方向的方向导数则是负值

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$${\frac{\partial f}{\partial l}\mid }_P=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z}{\rho }=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{f(x+\rho \cos \alpha ,y+\rho \sin \alpha )}{\rho }$$

本质上讲，这个路径已经确定了，所以是一元函数的极限

方向导数的存在性和偏导数的存在性之间有关联吗？

考虑 $z=\sqrt{(x^2+y^2)}$，函数方向导数都为 0，但是因为原点不光滑，函数在原点的偏导数不存在

方向导数存在的时候偏导数不一定存在

$$z=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2}& 不是原点\\ 0& 原点\end{array}$$

方向导数沿 x=y 的时候极限不存在，但是偏导数沿 x 轴和 y 轴的时候偏导数都为 0

偏导数存在的时候方向导数不一定存在

说明方向导数和偏导数在存在性上没有必然的蕴含关系

方向导数和偏导数的数值之间有关联吗？

$$f(x,y)=\sqrt{|xy|}$$ $$\frac{\partial f}{\partial l}=\sqrt{|\cos \alpha \sin \alpha |}$$ $$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$$

方向导数不能由偏导数线性表处，此时 $f(x,y)$ 不 可微

方向导数存在充分条件

同理可以推广到三元函数的方向导数的定义

求方向导数的方法