隐函数求导法

$F (x, y) = 0$

Question

什么条件才能确定隐函数？

什么条件隐函数可导？导数怎么求？

化一元隐函数求导化为二元显函数求导

$0 \equiv u = F (x, y) = F (x, f (x))$ 求全微分得到 $F_{x} + F_{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 0$

根据极限的保号性，得到在邻域内 $F_{y}$ 都不等于 0（大于小于 0 分类讨论），可以放心除过去。这个保证了该点的切线不是垂直于自变量坐标轴的。

F (x, y, z) = 0

定理形式相同

化二元隐函数为三元显函数

u = F (x, y, f (x, y)) \equiv 0

那么在点 P 的某一个领域内能唯一确定一个单独确定的函数 $z = f (x, y)$ ，偏导函数是存在且连续的

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}}

z = f (x + y + z, x yz) 求 \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial y}, \frac{\partial y}{\partial z}

方法 1：求出 $F_{x}$ 等等，用公式做除法

方法 2：设出 $u, v$ ，在式子两边同时对 x 求导（看清楚什么是因变量）

z = z (x, y) 是由方程 e^{z} + x yz + x + cos x = 2 确定, 求 d z ∣_{(0, 1)}, \frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} ∣_{(0, 1)}

两边关于 x，y 求偏导，得到全微分

e^{z} \frac{\partial z}{\partial x} + yz + x y \frac{\partial z}{\partial x} + 1 - sin x = 0

f (x, y) 在 (0, 1) 内连续可微， f (0, 1) = 0, f_{y} (0, 1) \neq = 0

f (x, 1 - cos t) = 0 在 (0, \frac{π}{2}) 附近确定一个 y 关于 x 的隐函数

构造 $F (x, t)$ 验证隐函数存在性即可

{F (x, y, u, v) = 0 G (x, y, u, v) = 0 ⟹ {u (x, y) v (x, y)

则在这个点的邻域内 u，v 能够由 x，y 唯一确定，他们关于 x，y 的偏导数都在这点连续

方程求偏导，得到线性方程组，此时系数矩阵的行列式就是雅可比行列式，不为 0 的时候有唯一解

通过克拉默法则得到偏导数（形式），或直接解二元一次方程即可

同样的，用微分的方法也可以解

z = f (x, y) ⟹ \frac{\partial y}{\partial x} = ?

F (x, y, z) = f (x, y) - z = 0 ⟹ \frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} = - \frac{f _{x}}{f _{y}}

z = f (x, y) \to y = y (x, z)

上面对 x 求偏导，同样可以得到相同结果

得到了一阶偏导数

\frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{f _{xx} + f _{x y} \frac{\partial y}{\partial x} ) f _{y} - ( f _{y x} + f _{yy} ) f _{x}}{f _{y}^{2}}

NOTE

一对二元函数在 xy 邻域内有定义，而且导数存在，满足 uv 关于雅可比行列式不为 0，可以确定 x，y 为因变量，uv 为自变量的一对反函数

反函数的雅可比行列式和原来的函数互为倒数

原理是 Hessian 矩阵在反函数下有以下性质：

J f^{- 1} = [Jf]^{- 1}

🪴 Cyril